Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης.(Για τον 8ο διαγωνισμό των μαθηματικών της φύσης και της ζωής)

Ελληνικός πολλαπλασιασμός: Ένας άγνωστος ιστορικός αλγόριθμος κατάλληλος για τη διδασκαλία.

O Ελληνικός πολλαπλασιασμός αποτελεί ένα ιστορικό αλγορίθμο του πολλαπλασιασμού που χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Ευτόκιο γύρω στον 5ο αιώνα μ.Χ. Ο αλγόριθμος αυτός του πολλαπλασιασμού που τον ονομάζουμε

«Ελληνικό πολλαπλασιασμό» εκτός από την ιστορική του σημασία, είναι πολύ σημαντικός και από εκπαιδευτική άποψη.

 

Από έρευνες σε μαθητές φάνηκε ότι ο Ελληνικός πολλαπλασιασμός είναι μια από τις μεθόδους πολλαπλασιασμού την οποία χρησιμοποιούν οι μαθητές χωρίς να την έχουν διδαχτεί. Αυτό σημαίνει ότι η εν λόγω μέθοδος πολλαπλασιασμού είναι συμβατή με τον τρόπο σκέψης των ανθρώπων. Αυτή η παρατήρηση μας οδηγεί να προσανατολιστούμε προς τις συζητήσεις για τη σχέση ανάμεσα στην Ιστορία των Μαθηματικών και τη μαθηματική εκπαίδευση, οι οποίες εμφανίζονται από τις αρχές του 20ου αιώνα με όρους ενός παραλληλισμού και με πρόθεση να συμβάλλουν στη βελτίωση της διδασκαλίας και μάθησης. Ο Ελληνικός πολλαπλασιασμός χρησιμοποιείται στα καινούργια σχολικά βιβλία των Μαθηματικών της Γ΄ τάξης στα πλαίσια της προετοιμασίας των μαθητών για την εισαγωγή τους στον κλασικό αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού. Ταυτόχρονα είναι μια μέθοδος χρήσιμη για τη διδασκαλία γιατί αποκαλύπτει και εξηγεί στους μαθητές ιδιότητες του κλασικού αλγορίθμου του πολλαπλασιασμού που δεν είναι τόσο προφανείς για αυτούς.

Συνολικά ο Ευτόκιος στα Σχόλια του στην πραγματεία του Αρχιμήδη Κύκλου Μέτρησις αναλύει τους ακόλουθους πολλαπλασιασμούς πάντα σε τετραγωνικούς αριθμούς (δηλ. πολλαπλασιάζει έναν αριθμό με τον εαυτό του)

306, 153, 265, 571, 591 1/8, 1162 1/8, 1172 1/8, 2334 1/4, 2339 1/4, 1560, 780, 1351, 2911,

3013 ½,1/4, 1823, 240, 1838 1/9/1/11, 1007, 66, 1009 1/6, 2016 1/6, 2017 1/4.

Στη συνέχεια παραθέτουμε δυο παραδείγματα πολλαπλασιασμών, ενός κλασματικού και δύο ακεραίων αριθμών όπως δίνονται από τον Ευτόκιο στο αρχαίο κείμενο, με χρήση μοντέρνου συμβολισμού.

Το πρώτο παράδειγμα είναι ο πολλαπλασιασμός 66 x 66:

ellhnikos pollaplasiasmos 1

 

 

Με μοντέρνο συμβολισμό ο πολλαπλασιασμός παίρνει την ακόλουθη μορφή:

66

x 66

3600  360

360     36

Σύνολο 4 356

Η μαθηματική ανάλυση των ανωτέρω πράξεων μπορεί να αποδοθεί με τον ακόλουθο

τρόπο :

(6 Δεκάδες + 6 Μονάδες)(6 Δεκάδες + 6 Μονάδες)= 36 Εκατοντάδες + 36 δεκάδες +

36 Δεκάδες + 36 Μονάδες

Το δεύτερο παράδειγμα περιλαμβάνει τον πολλαπλασιασμό 1351 x 1351:

 

ellhnikos pollaplasiasmos 2

 

 

Με μοντέρνο συμβολισμό ο πολλαπλασιασμός παίρνει την ακόλουθη μορφή:

1351

x 1351

1 000 000    300 000    50 000    1 000

300 000        90 000        15 000      300

50 000          15 000        2 500          50

1 000            300                  50              1

Σύνολο 1 825 201

Η μαθηματική ανάλυση των ανωτέρω πράξεων μπορεί να αποδοθεί με τον ακόλουθο

τρόπο :

(1 Χιλιάδα + 3 Εκατοντάδες + 5 Δεκάδες + 1 Μονάδα)(1 Χιλιάδα + 3 Εκατοντάδες +

5 Δεκάδες + 1 Μονάδα) =

1 Εκατομμύριο + 3 Εκατοντάκις Χιλιάδες + 5 Μυριάδες + 1 Χιλιάδα

3 Εκατοντάκις Χιλιάδες + 9 Μυριάδες + 15 Χιλιάδες + 3 Εκατοντάδες

5 Μυριάδες + 15 Χιλιάδες + 25 Εκατοντάδες + 5 Δεκάδες

Χιλιάδα + 3 Εκατοντάδες + 5 Δεκάδες + 1 Μονάδα

Απόσπασμα από εργασία των:

Λεμονίδης Χ., Νικολαντωνάκης Κ.,(2007). Ελληνικός πολλαπλασιασμός:Ένας άγνωστος ιστορικός αλγόριθμος κατάλληλος για τη διδασκαλία. Σύγχρονη Εκπαίδευση, τεύχος 151,σελ 169-178

Το πλήρες κείμενο της εργασίας μπορείτε να το δείτε εδώ: eytokios_askalonitispdf.pdf.

Διαβάστε επίσης: